Calculadora cuadrática

Resolver una ecuación de segundo grado a mano requiere aplicar la fórmula general, calcular el discriminante y simplificar dos raíces. Con la calculadora cuadrática de arriba solo introduces los coeficientes a, b y c y obtienes las soluciones exactas, el valor del discriminante y el procedimiento detallado al instante.

Qué es una ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática (o ecuación de segundo grado) es cualquier igualdad algebraica con la forma:

ax² + bx + c = 0

donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La condición a ≠ 0 es clave: si a fuera cero, el término x² desaparecería y la ecuación pasaría a ser lineal (de primer grado).

Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

La gráfica de una ecuación cuadrática es siempre una parábola. Las soluciones de la ecuación (también llamadas raíces) son los puntos donde esa parábola cruza o toca el eje horizontal (eje X).

La fórmula general cuadrática

El método universal para resolver cualquier ecuación de segundo grado es la fórmula general:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

El símbolo ± indica que en realidad hay dos fórmulas en una:

• x₁ = (−b + √(b² − 4ac)) / 2a
• x₂ = (−b − √(b² − 4ac)) / 2a

Para aplicarla solo necesitas identificar los valores de a, b y c en tu ecuación y sustituirlos. La calculadora cuadrática realiza exactamente este proceso, mostrando cada paso intermedio.

Cómo identificar a, b y c

Antes de aplicar la fórmula, reordena la ecuación para que un lado sea cero:

1. Mueve todos los términos al lado izquierdo.
2. Ordena los términos de mayor a menor potencia.
3. El coeficiente de x² es a, el de x es b y el término independiente es c.

Ejemplo: la ecuación 3x² = 7x − 2 se reescribe como 3x² − 7x + 2 = 0, donde a = 3, b = −7 y c = 2.

El discriminante: qué determina el tipo de soluciones

Dentro de la fórmula general aparece la expresión bajo la raíz cuadrada:

D = b² − 4ac

Este valor se llama discriminante (o delta) y determina la naturaleza de las soluciones:

Ejemplo práctico con cada caso

Caso D > 0: en x² − 5x + 6 = 0 → D = 25 − 24 = 1 → dos raíces reales: x₁ = 3 y x₂ = 2.

Caso D = 0: en x² − 4x + 4 = 0 → D = 16 − 16 = 0 → una raíz doble: x = 2.

Caso D < 0: en x² + 2x + 5 = 0 → D = 4 − 20 = −16 → no hay raíces reales.

Cómo resolver una ecuación cuadrática paso a paso

Resolver una ecuación de segundo grado mediante la fórmula general sigue siempre la misma secuencia:

1. Reescribir la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0.
2. Identificar los coeficientes a, b y c.
3. Calcular el discriminante: D = b² − 4ac.
4. Evaluar el tipo de soluciones según el signo de D.
5. Sustituir en la fórmula general y simplificar.

Ejemplo completo

Resolver 2x² + 3x − 5 = 0:

1. La ecuación ya tiene la forma correcta.

2. a = 2, b = 3, c = −5.

3. D = 3² − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49.

4. D > 0 → hay dos soluciones reales distintas.

5. x = (−3 ± √49) / (2 · 2) = (−3 ± 7) / 4

   → x₁ = (−3 + 7) / 4 = 4 / 4 = 1

   → x₂ = (−3 − 7) / 4 = −10 / 4 = −2,5

La calculadora de arriba ejecuta este mismo proceso y presenta el resultado con el procedimiento detallado.

Ecuaciones incompletas: cuándo b o c valen cero

No todas las ecuaciones de segundo grado tienen los tres términos. Cuando b = 0, c = 0, o ambos, la ecuación se llama incompleta y admite métodos más directos.

Tipo bx² + c = 0 (con a ≠ 0 y b = 0)

La ecuación ax² + c = 0 se resuelve despejando x directamente:

x² = −c / a → x = ±√(−c/a)

Ejemplo: 3x² − 27 = 0 → x² = 9 → x = ±3.

Tipo ax² + bx = 0 (con c = 0)

Se puede factorizar extrayendo x:

x(ax + b) = 0 → x = 0 o x = −b/a

Ejemplo: 5x² − 15x = 0 → 5x(x − 3) = 0 → x = 0 o x = 3.

Tipo ax² = 0 (con b = 0 y c = 0)

La única solución es x = 0 con raíz doble.

Otros métodos de resolución

Además de la fórmula general, existen dos métodos habituales para resolver ecuaciones cuadráticas.

Factorización

Cuando la ecuación se puede expresar como producto de dos binomios:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) = 0

Este método es el más rápido, pero solo funciona cuando las raíces son números racionales y la factorización resulta evidente. Por ejemplo, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0.

Completar el cuadrado

Consiste en transformar la ecuación en un cuadrado perfecto igualado a un número:

1. Divide toda la ecuación entre a.
2. Pasa el término independiente al otro lado.
3. Suma a ambos lados el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
4. Factoriza el lado izquierdo como (x + k)² y despeja.

Este método es el origen de la propia fórmula general: al completar el cuadrado en ax² + bx + c = 0 se llega a la expresión x = (−b ± √D) / 2a.

Propiedades útiles de las raíces

Si x₁ y x₂ son las dos soluciones de ax² + bx + c = 0, se cumplen estas relaciones de Vieta:

• Suma de las raíces: x₁ + x₂ = −b / a
• Producto de las raíces: x₁ · x₂ = c / a

Estas propiedades permiten verificar resultados rápidamente. En el ejemplo 2x² + 3x − 5 = 0 con raíces 1 y −2,5:

• Suma: 1 + (−2,5) = −1,5 = −3/2 = −b/a ✓
• Producto: 1 · (−2,5) = −2,5 = −5/2 = c/a ✓

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones de segundo grado aparecen en múltiples contextos prácticos:

• Tiro parabólico: la altura de un proyectil en función del tiempo sigue h(t) = −½gt² + v₀t + h₀, una ecuación cuadrática en t.
• Áreas y dimensiones: calcular las medidas de un rectángulo sabiendo su área y la relación entre largo y ancho conduce a una ecuación cuadrática.
• Problemas de optimización: encontrar el valor máximo o mínimo de una magnitud expresada como parábola.
• Circuitos eléctricos: el análisis de corriente alterna en ciertos circuitos RLC produce ecuaciones cuadráticas.
• Economía: el punto de equilibrio de ingresos y costos a menudo se modela con funciones cuadráticas.

Esta herramienta es de carácter informativo. Para aplicaciones académicas o profesionales, verifica siempre los resultados con tu material de referencia.

Tabla de ecuaciones comunes y sus soluciones