Calculadora de intervalos

Necesitas hallar la intersección de [-2, 4] y [1, 6] para entregar el ejercicio de álgebra. Resolverlo a mano es cuestión de segundos si recuerdas la regla de los extremos; si no, es fácil equivocarse con los corchetes. A continuación tienes una calculadora de intervalos que realiza uniones, intersecciones, diferencias y complementos, junto con una guía paso a paso para dominar la notación en la recta real.

Tipos de intervalos y notación básica

Un intervalo es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos valores, llamados extremos. Su notación indica si dichos extremos pertenecen al conjunto.

• Cerrado [a, b] → incluye ambos extremos: a ≤ x ≤ b.
• Abierto ]a, b[ o (a, b) → excluye ambos extremos: a < x < b.
• Semiabierto [a, b[ o [a, b) → incluye a, pero excluye b: a ≤ x < b.
• Semiabierto ]a, b] o (a, b] → excluye a, pero incluye b: a < x ≤ b.
• Infinito por la izquierda ]-∞, a[ o (-∞, a) → x < a.
• Infinito por la derecha [a, +∞[ o [a, +∞) → x ≥ a.

En ámbitos hispanohablantes la notación con corchetes invertidos ]a, b[ es la clásica, aunque el uso de paréntesis (a, b) –extendido en textos anglosajones– también se acepta. La calculadora de arriba admite ambos formatos.

La calculadora lee dos intervalos escritos con corchetes o paréntesis y, tras elegir la operación, devuelve el resultado en notación de intervalo, su desigualdad equivalente y una representación simplificada en la recta numérica. Esto es útil para comprobar ejercicios o resolver desigualdades complejas sin perderse en los extremos.

¿Cómo calcular la unión, intersección y diferencia de intervalos?

Las operaciones entre intervalos siguen las mismas reglas que las operaciones entre conjuntos, pero el resultado siempre se expresa con la notación de intervalos más compacta posible.

Unión (A ∪ B) Combina todos los valores que están en A, en B o en ambos. Si los intervalos se solapan o simplemente se tocan en un punto, la unión se simplifica a un solo intervalo. Si existe un hueco entre ellos, el resultado se escribe como dos intervalos separados por el símbolo ∪.

Ejemplo: [1, 4] ∪ [3, 6] = [1, 6]. Ejemplo con hueco: [1, 2] ∪ [4, 5] se mantiene como está porque entre 2 y 4 no hay valores comunes ni adyacencia.

Intersección (A ∩ B) Devuelve solo la zona común. La regla práctica es:

• Límite inferior = el mayor de los dos límites inferiores.
• Límite superior = el menor de los dos límites superiores. El tipo de corchete (abierto o cerrado) depende de la notación original en cada extremo.

Ejemplo: [0, 8[ ∩ ]3, 10] = ]3, 8[. El 3 queda excluido porque el segundo intervalo lo abre; el 8 queda excluido porque el primero lo abre.

Diferencia (A \ B) Son los elementos de A que no pertenecen a B. El resultado puede ser un único intervalo o la unión de varios intervalos disjuntos.

Ejemplo: [0, 10] \ ]3, 6[ = [0, 3] ∪ [6, 10]. Se conservan los extremos según su inclusión original.

Complemento Es la diferencia entre los números reales (ℝ) y el intervalo dado. Ejemplo: El complemento de ]-∞, 3[ es [3, +∞[.

Ejemplos resueltos paso a paso

Unión con continuidad en el borde [-1, 3] ∪ [3, 7] = [-1, 7]. El valor 3 pertenece al primer intervalo, por lo que ambos se fusionan en uno solo.

Intersección mixta [-2, 5[ ∩ [0, 10] = [0, 5[. El límite inferior efectivo es 0 (el mayor entre -2 y 0) y se toma cerrado porque el segundo intervalo lo incluye. El límite superior efectivo es 5, pero se mantiene abierto porque el primer intervalo lo excluye.

Diferencia que genera dos intervalos [2, 9] \ [5, 7[ = [2, 5[ ∪ [7, 9]. Se elimina la parte central [5, 7[ del intervalo original. El 5 desaparece porque está incluido en el segundo conjunto; el 7 reaparece porque el segundo conjunto lo excluye y el primero lo incluye.

Tabla de notaciones equivalentes

Esta equivalencia es la base para pasar de una desigualdad a intervalo y viceversa, algo habitual cuando se define el dominio de una función o se resuelve una inecuación.

Dónde se usan los intervalos

Además de las clases de matemáticas, los intervalos aparecen en:

• Dominio y rango de funciones: para indicar dónde está definida una expresión.
• Tolerancias de fabricación: un eje puede medirse en [24,98; 25,02] mm.
• Probabilidad y estadística: los intervalos de confianza expresan rangos de valores probables.
• Programación y gráficos: escalas de colores o rangos de temperatura.

Dominar la notación de intervalos agiliza cualquier cálculo matemático y evita errores de interpretación en textos científicos y técnicos.