Calculadora de Transformada de Laplace

Resolver un circuito RLC con condiciones iniciales, analizar la estabilidad de un sistema de control o simplemente evitar integrales impropias interminables: la transformada de Laplace convierte esos problemas en álgebra manejable. Para cualquier función que introduzcas, la calculadora de transformada de Laplace te ahorra el desarrollo simbólico y te entrega el resultado en segundos.

¿Cómo usar una calculadora de transformada de Laplace?

La dinámica es directa. Se introduce la función en el dominio del tiempo, empleando la variable t. Por ejemplo, 3*e^(-2t) + sin(5t). El motor interpreta operadores habituales, paréntesis y constantes como π o ∞. No hace falta escribir la integral: la calculadora aplica la definición y las propiedades para resolver el paso al dominio s.

El resultado aparece como una fracción racional en la variable compleja s, a menudo desglosado en fracciones parciales. Si la función lo permite, también se muestra la región de convergencia (ROC). De esta forma, se obtiene tanto la expresión algebraica como las condiciones que garantizan su validez.

Definición y fórmula de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t), definida para t ≥ 0, es la integral impropia
L{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ e^{-st} f(t) dt,
donde s es una variable compleja, s = σ + jω. La exponencial negativa fuerza la convergencia, incluso para funciones que no son absolutamente integrables en el sentido de Fourier.

Solo se considera el comportamiento para t ≥ 0, lo que implica que las condiciones iniciales se incorporan de manera natural. Por eso es la herramienta ideal para sistemas dinámicos con condiciones de arranque no nulas.

Tabla de transformadas elementales

Contar con estos pares básicos acelera el uso de la calculadora y facilita la verificación manual:

La calculadora amplía automáticamente la tabla a decenas de combinaciones gracias a sus propiedades.

Propiedades fundamentales que emplea la calculadora

El algoritmo interno no solo evalúa la integral; aplica propiedades que simplifican la expresión antes de integrar, lo que garantiza respuestas exactas sin aproximaciones numéricas.

• Linealidad: L{a·f(t) + b·g(t)} = a·F(s) + b·G(s).
• Desplazamiento en el tiempo: L{f(t - a)·u(t - a)} = e^{-as}F(s).
• Desplazamiento en frecuencia: L{e^{at}f(t)} = F(s - a).
• Derivación: L{f’(t)} = sF(s) - f(0⁻).
• Integración: L{∫₀^t f(τ)dτ} = F(s)/s.
• Escalado en el tiempo: L{f(at)} = (1/a)F(s/a), a > 0.

Gracias a ellas, una función compuesta como e^{-3t} sin(2t) se traduce, sin integral visible, en 2/[(s+3)² + 4].

Ejemplo de cálculo manual y verificación con la calculadora

Para f(t) = 4e^{-2t} + 3 cos(5t), la linealidad descompone el problema:
L{4e^{-2t}} = 4/(s+2), con ROC Re(s) > -2.
L{3 cos(5t)} = 3s/(s² + 25), con ROC Re(s) > 0.

La suma da F(s) = 4/(s+2) + 3s/(s² + 25). La calculadora mostrará este mismo resultado en una fracción unificada:
(4(s² + 25) + 3s(s+2)) / ((s+2)(s² + 25)) = (3s² + 4s² + 6s + 100) / …, simplificando a (7s² + 6s + 100) / ((s+2)(s² + 25)). Además, indica que la ROC es Re(s) > 0, la región común de ambas componentes.

Aplicaciones en ingeniería y ciencias

La transformada de Laplace no es un mero ejercicio académico. Subyace en el diseño de filtros electrónicos, en el modelado de suspensiones de vehículos, en la regulación de temperatura de procesos químicos y en el control de vuelo de aeronaves. La función de transferencia de un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) es precisamente el cociente de dos transformadas de Laplace, lo que permite predecir la respuesta sin resolver ecuaciones diferenciales.

Con la calculadora, el análisis de polos y ceros se vuelve inmediato: al obtener F(s) se pueden identificar los valores de s que anulan el denominador (polos) y el numerador (ceros), claves para determinar estabilidad y respuesta transitoria.