Método de Sarrus

El método de Sarrus te da el determinante de una matriz 3×3 en segundos. En lugar de descomponer la matriz en menores, esta regla mnemotécnica solo necesita que copies las dos primeras columnas a la derecha y calcules seis productos en diagonal. A continuación verás los pasos, un ejemplo con cifras y dispondrás de una calculadora interactiva para comprobar tus resultados.

¿Cómo se aplica el método de Sarrus paso a paso?

Para calcular el determinante de una matriz \( A \) de 3×3 con elementos \( a\_{ij} \):

1. Escribe la matriz original y añade a su derecha una copia de las columnas 1 y 2, en ese mismo orden. Así tendrás 5 columnas.
2. Multiplica los elementos de las tres diagonales principales (las que van de arriba izquierda a abajo derecha) y suma esos productos:
   • \( P*1 = a*{11} \cdot a*{22} \cdot a*{33} \)
   • \( P*2 = a*{12} \cdot a*{23} \cdot a*{31} \)
   • \( P*3 = a*{13} \cdot a*{21} \cdot a*{32} \)
3. Multiplica los elementos de las tres diagonales secundarias (las que van de arriba derecha a abajo izquierda) y suma esos productos:
   • \( S*1 = a*{13} \cdot a*{22} \cdot a*{31} \)
   • \( S*2 = a*{11} \cdot a*{23} \cdot a*{32} \)
   • \( S*3 = a*{12} \cdot a*{21} \cdot a*{33} \)
4. Resta la suma secundaria de la suma principal: \[ \det(A) = (P_1 + P_2 + P_3) - (S_1 + S_2 + S_3) \]

Con estos cuatro movimientos obtienes el valor del determinante sin necesidad de desarrollar por adjuntos.

Para que practiques con tus propios números, la calculadora de abajo aplica automáticamente la misma secuencia. Solo tienes que introducir los nueve coeficientes.

La calculadora multiplica las diagonales según la regla de Sarrus y te muestra el resultado junto con los productos intermedios, de modo que puedas revisar cada paso.

Ejemplo de determinante por Sarrus

Tomemos la matriz:

Añadimos las dos primeras columnas a la derecha:

Ahora sumamos los productos de las diagonales principales:

• \(1 \times 5 \times 9 = 45\)
• \(2 \times 6 \times 7 = 84\)
• \(3 \times 4 \times 8 = 96\) Total principal = \(45 + 84 + 96 = 225\)

Productos de las diagonales secundarias:

• \(3 \times 5 \times 7 = 105\)
• \(1 \times 6 \times 8 = 48\)
• \(2 \times 4 \times 9 = 72\) Total secundario = \(105 + 48 + 72 = 225\)

Finalmente, \(\det(A) = 225 - 225 = 0\).

El determinante nulo indica que las filas de la matriz son linealmente dependientes. En este caso la tercera fila es combinación de las dos primeras.

Errores frecuentes al usar la regla de Sarrus

• Olvidar las columnas adicionales. Sin las copias de las columnas 1 y 2 es fácil equivocarse al identificar las diagonales secundarias.
• Confundir el signo. Algunos calculan todos los productos con el mismo signo y se olvidan de restar la suma secundaria. El determinante suele ser incorrecto por un error de signo.
• Alterar el orden de las filas o columnas. Si se cambia el orden de los elementos al escribir la matriz, los productos cambian y el resultado no corresponde a la matriz original.
• Errores de multiplicación o suma. Una simple equivocación aritmética en alguno de los seis productos puede arruinar el cálculo. Conviene comprobar cada producto de forma individual.

Para evitar estos fallos, repite el cálculo con la calculadora de arriba o verifica el determinante por otro método, como el desarrollo por cofactores.

¿Cuándo conviene usar Sarrus frente a otros métodos?

El método de Sarrus es imbatible en rapidez para matrices 3×3. Cualquier otro procedimiento –ya sea la regla de Laplace o la reducción gaussiana– requiere más operaciones para el mismo tamaño. Sin embargo, si la matriz tiene muchos ceros, el desarrollo por cofactores puede ser más directo. Para órdenes superiores a 3, Sarrus no es aplicable y se debe recurrir a métodos generales. Por eso, la regla de Sarrus es una herramienta que todo estudiante de álgebra lineal debería dominar, pero sin pretender extenderla más allá de su ámbito natural.