Resolver logaritmos

Te enfrentas a la ecuación log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 y no sabes por dónde empezar. O tal vez tu profesor ha puesto en el examen una expresión con logaritmos en distintas bases y necesitas un método claro para llegar a la respuesta. Resolver logaritmos se reduce a aplicar un conjunto finito de propiedades y seguir un orden lógico: convertir, simplificar y comprobar.

Qué significa resolver un logaritmo

Un logaritmo es la operación inversa de la potenciación. Decir que log_b(a) = c significa que b^c = a. En otras palabras, el logaritmo pregunta: «¿a qué exponente elevo la base b para obtener a?»

Por ejemplo:

• log₂(8) = 3, porque 2³ = 8.
• log₁₀(1000) = 3, porque 10³ = 1000.
• ln(e) = 1, porque e¹ = e.

Resolver logaritmos implica dos cosas distintas según el ejercicio:

1. Calcular el valor de una expresión logarítmica (ejemplo: hallar log₅(125)).
2. Despejar la incógnita de una ecuación logarítmica (ejemplo: resolver log₂(x) = 5).

Ambas tareas usan las mismas propiedades fundamentales.

Propiedades de los logaritmos para resolver ejercicios

Estas cinco propiedades son las herramientas que necesitas. Conviene memorizarlas, pero más aún entenderlas: cada una refleja una ley equivalente de los exponentes.

Propiedad del producto

log_b(M · N) = log_b(M) + log_b(N)

La suma de dos logaritmos con la misma base es igual al logaritmo del producto de sus argumentos.

Ejemplo: log₃(9) + log₃(27) = log₃(9 · 27) = log₃(243) = 5, ya que 3⁵ = 243.

Propiedad del cociente

log_b(M / N) = log_b(M) − log_b(N)

La resta de dos logaritmos con la misma base equivale al logaritmo del cociente.

Ejemplo: log(500) − log(5) = log(500 / 5) = log(100) = 2.

Propiedad de la potencia

log_b(M^k) = k · log_b(M)

El exponente del argumento sale como factor multiplicador delante del logaritmo. Es la propiedad que más se usa para simplificar expresiones.

Ejemplo: log₂(32⁴) = 4 · log₂(32) = 4 · 5 = 20.

Logaritmo de la base en sí misma

log_b(b) = 1

Cualquier base elevada a 1 da como resultado la propia base.

Cambio de base

log_b(M) = log(M) / log(b) = ln(M) / ln(b)

Permite convertir cualquier logaritmo a base 10 o base e, las dos que calculan las calculadoras científicas.

Ejemplo: log₇(49) = log(49) / log(7) = 1,690 / 0,845 = 2.

Tipos de ecuaciones logarítmicas y cómo resolverlas

No todas las ecuaciones con logaritmos se resuelven igual. La estrategia depende de la forma que tenga la ecuación.

Tipo 1 – Logaritmo aislado igualado a un número

Forma: log_b(x) = c

Método: Se pasa el logaritmo a su forma exponencial.

x = b^c

Ejemplo completo:

Resolver log₃(x) = 4.

x = 3⁴ = 81

Comprobación: log₃(81) = 4 ✓

Tipo 2 – Dos logaritmos con la misma base

Forma: log_b(expresión₁) = log_b(expresión₂)

Método: Si los logaritmos tienen la misma base, los argumentos deben ser iguales.

expresión₁ = expresión₂

Se resuelve la ecuación algebraica resultante y se comprueba que las soluciones pertenezcan al dominio (argumentos positivos).

Tipo 3 – Suma o resta de logaritmos

Forma: log_b(A) + log_b(B) = c o log_b(A) − log_b(B) = c

Método: Se agrupan los logaritmos con las propiedades de producto o cociente y se pasa a forma exponencial.

Tipo 4 – Logaritmos con distinta base

Forma: log_b(x) = log_d(x) · k, o dos logaritmos con bases diferentes.

Método: Se aplica el cambio de base para unificar las bases y luego se opera como en los tipos anteriores.

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1 – Ecuación con suma de logaritmos

Resolver log₂(x) + log₂(x − 2) = 3.

Paso 1: Aplicar la propiedad del producto en el lado izquierdo.

log₂[x(x − 2)] = 3

Paso 2: Pasar a forma exponencial.

x(x − 2) = 2³ = 8

Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática.

x² − 2x − 8 = 0

(x − 4)(x + 2) = 0

x = 4 o x = −2

Paso 4: Comprobar el dominio. El argumento de ambos logaritmos debe ser positivo:

• Si x = 4: log₂(4) = 2 y log₂(2) = 1 → 2 + 1 = 3 ✓
• Si x = −2: log₂(−2) no existe ✗

Solución: x = 4.

Ejemplo 2 – Ecuación con resta y propiedad de potencia

Resolver log(x + 6) − log(x − 2) = 1 (logaritmo base 10).

Paso 1: Aplicar la propiedad del cociente.

log[(x + 6) / (x − 2)] = 1

Paso 2: Pasar a forma exponencial.

(x + 6) / (x − 2) = 10¹ = 10

Paso 3: Resolver la ecuación.

x + 6 = 10(x − 2)

x + 6 = 10x − 20

26 = 9x

x = 26/9 ≈ 2,89

Paso 4: Comprobar: x + 6 > 0 y x − 2 > 0 → 26/9 − 2 = 8/9 > 0 ✓

Solución: x = 26/9.

Ejemplo 3 – Cambio de base y ecuación mixta

Resolver log₂(x) + log₄(x) = 6.

Paso 1: Convertir log₄(x) a base 2.

log₄(x) = log₂(x) / log₂(4) = log₂(x) / 2

Paso 2: Sustituir en la ecuación.

log₂(x) + log₂(x) / 2 = 6

Paso 3: Multiplicar toda la ecuación por 2 para eliminar el denominador.

2·log₂(x) + log₂(x) = 12

3·log₂(x) = 12

log₂(x) = 4

Paso 4: Pasar a exponencial.

x = 2⁴ = 16

Comprobación: log₂(16) + log₄(16) = 4 + 2 = 6 ✓

Solución: x = 16.

Ejemplo 4 – Ecuación cuadrática en logaritmo

Resolver (log x)² − 3·log(x) + 2 = 0 (base 10).

Paso 1: Hacer el cambio de variable. Sea t = log(x).

t² − 3t + 2 = 0

Paso 2: Factorizar.

(t − 1)(t − 2) = 0

t = 1 o t = 2

Paso 3: Volver a la variable original.

log(x) = 1 → x = 10¹ = 10

log(x) = 2 → x = 10² = 100

Paso 4: Ambos valores generan argumentos positivos, así que ambas son válidas.

Soluciones: x = 10 y x = 100.

Errores frecuentes al resolver logaritmos

Resumen visual del método

Para cualquier ecuación logarítmica, sigue estos 5 pasos:

1. Agrupar los logaritmos con las propiedades de producto, cociente o potencia.
2. Unificar bases si hay logaritmos con bases distintas (cambio de base).
3. Aislar el logaritmo para que quede solo en un lado de la igualdad.
4. Pasar a forma exponencial y resolver la ecuación algebraica resultante.
5. Comprobar que cada solución dé argumentos positivos en todos los logaritmos originales. Descartar soluciones extrañas.

Esta guía tiene fines educativos. Consulta siempre el programa vigente de tu centro para confirmar qué métodos se valoran en los exámenes.